Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH (H ∈ BC). Biết rằng góc B = 60 độ và AC = 10 cm (như hình dưới).

Đáp án: a) Đúng.      b) Đúng.         c) Sai.             d) Đúng.

a) Đúng. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] theo tỉ số lượng giác, \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền, tức là \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

b) Đúng. Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] (do \(AH \bot BC\)), \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền trong tam giác này, tức là \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).

c) Sai. Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 60^\circ  = \frac{{10}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Khẳng định \(BC = 20\sqrt 3 \) cm là sai.

d) Đúng. Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có hệ thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot AC\).

Ta có \(AB = BC \cdot \cos B = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \cos 60^\circ  = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Vậy \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot 10}}{{\frac{{20\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{3}{{20\sqrt 3 }} = 5\) cm.