Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB < AC. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE. a) Chứng minh DE vuông góc BC và BD là đường trung trực của đoạn

48/50

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh $AB < AC$. Tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ cắt $AC$ ở $D.$ Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $AB = BE$.

a) Chứng minh $DE \bot BC$ và $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE.$

b) So sánh $DA$ và $DC.$

c) Hạ $CF$ vuông góc với tia $BD$ tại $F$. Chứng minh ba đường thẳng $AB,DE,CF$ đồng quy.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Do đó, $AB,DE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$ (nằm ngoài tam giác $BDC$). (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$, có:

$AB = BE$ (gt)

$\widehat {ABD} = \widehat {DBE}$ (gt)

$BD$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ $ (hai góc tương ứng)

Do đó, $DE \bot BC$.

Ta có $AB = BE$ (gt) nên $B$ thuộc đường trung trực của $AE$ và $AD = DE$ (hai cạnh tương ứng)

nên $D$ thuộc đường trung trực của $AE$.

Suy ra $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE.$

b) Vì $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c) nên $AD = DE$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác $EDC$ có $\widehat {DEC} = 90^\circ $ nên $DC > DE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD < DC.$

c) Xét tam giác $BDC$ có $CF \bot BD$ tại $F$, $ED \bot BC$ tại $E$ và $BA \bot DC$ tại $A$.

Mà $CF,BA,DE$ là ba đường cao trong tam giác $BDC$.

Do đó, $AB,DE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$ (nằm ngoài tam giác $BDC$).