Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Từ H vẽ HD vuông góc với cạnh AB tại D, vẽ HE vuông góc với cạnh AC tại E. Biết AB = 15cm, BC = 25 cm. a) Tính độ dài cạnh AC và diện tích ta

a) ΔABC vuông tại A

⇒AB2+AC2=BC2(định lý Py–ta–go)

AC2=BC2−AB2=252−152 

=625−225=400

⇒AC=400=20(cm)(AC>0) 

SABC=12AB.AC=12.15.20 

=150(cm2)

b) Tứ giác ADHE có: DAE^=90° (gt)

ADH^=90°(HD⊥AB)

AEH^=90°(HE⊥AC) 

Do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có AF=AE (gt), AE=DH (tứ giác ADHE là hình chữ nhật) ⇒AF=DH 

Tứ giác AFDH có AF//DH, AF=DH 

suy ra Tứ giác AFDH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

d) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng BH

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác HAB ⇒MN//AB 

Mà AB⊥AC(A^=90°) 

Nên MN⊥AC

ΔACN có MN, AH là hai đường cao cắt nhau tại M

⇒ M là trực tâm của tam giác CAN

⇒ CM là đường cao của tam giác CAN ⇒AM⊥AN 

Mặt khác A, N lần lượt là trung điểm của BK, HB

⇒ AN là đường trung bình của tam giác BKH ⇒AN//HK 

Ta có CM⊥AN, AN//HK

Vậy CM⊥HK