Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆABC>ˆACB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BA. Trên tia đối củ

24/41

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\hat{A B C} > \hat{A C B},$ trung tuyến $A M$ . Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $D$ sao cho $C$ là trung điểm của $M D$ . Trên tia đối của tia $B A$ lấy điểm $E$ sao cho $B E = B A .$ Trên tia đối của tia $M A$ lấy điểm $N$ sao cho $M N = M A$ .

(a) Chứng minh $Δ A M B = Δ N M C$ và $C N ⊥ C A$ .

(b) Gọi $I$ là trung điểm của $D E$ . Chứng minh ba điểm $A, M, I$ thẳng hàng.

(c*) So sánh $A D$ và $B C$ .

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆABC>ˆACB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BA. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA. (ảnh 1)

a) Xét $Δ A M B$ và $Δ N M C$ có

$M C = M B$ (gt)

$\hat{A M B} = \hat{N M C}$ (hai góc đối đỉnh)

$M A = M N$ (gt)

Do đó $Δ A M B = Δ N M C (c . g . c)$ .

Suy ra $\hat{M A B} = \hat{M N C}$ (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong $C N / / A B$ .

Mà $B A ⊥ C A$ nên $C N ⊥ C A$ .

b) Vì $B$ là trung điểm của $A E$ nên $D B$ là đường trung tuyến của $Δ D A E$ .

Ta có $D C = C M, C M = M B$ nên $D M = \frac{2}{3} D B$ .

Do đó $M$ là trọng tâm của $Δ D A E$

Vì $I$ là trung điểm của $D E$ nên $A I$ là đường trung tuyến của $Δ D A E$ .

Mà $M \in A I$ nên ba điểm $A, M, I$ thẳng hàng.

c*) Vì $Δ A M B = Δ N M C$ (cmt) nên $A B = N C$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $Δ A C N$ và $Δ C A B$ có

Cạnh $C A$ chung ; $\hat{C A B} = \hat{A C N} = 90 °$ , $C N = A B$ (cmt)

Do đó $Δ A C N = Δ C A B (c . g . c)$

Suy ra $A N = B C$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $\frac{1}{2} A N = \frac{1}{2} B C$ hay $A M = M C = M B$ .

Do đó $Δ A M C$ và $Δ A M B$ cân tại $M .$

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• $\hat{A M B} = \hat{A C B} + \hat{C A M} = 2 \hat{A C B}$

• $\hat{A M C} = \hat{A B C} + \hat{B A M} = 2 \hat{A B C}$

Vì $\hat{A C B} < \hat{A B C}$ nên $\hat{A M B} < \hat{A M C}$ .

Mà $\hat{A M B}$ và $\hat{A M C}$ là hai góc kề bù nên $\hat{A M C}$ là góc tù.

Xét $Δ A M B$ có $\hat{A M D}$ là góc tù nên $\hat{A M D} > \hat{D A M} .$

Suy ra $A D > M D$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có $M B = M C = C D$ nên $M B + M C = M C + C D$ .

Do đó $B C = M D$ (đpcm).