Cho tam giác ABC vuông tại A có ˆABC>ˆACB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BA. Trên tia đối củ

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có

\[MC = MB\] (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\[MA = MN\] (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).

Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].

b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).

Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].

Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]

Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].

Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có

Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)

Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)

Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].

Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].

Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.

Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]

Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].

Do đó \[BC = MD\] (đpcm).