Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Gọi K là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc BC

a) Xét \(\Delta AKB\)và \(\Delta AKC\) có:

\[AB = AC\](giả thiết);

Cạnh \[AK\]chung

\[BK = CK\](giả thiết).

\( \Rightarrow \)\(\Delta AKB = \Delta AKC\)(c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {AKB} = \widehat {AKC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AKB} + \widehat {AKC} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \( \Rightarrow \widehat {AKB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \) hay \(AK \bot BC.\)b) Ta có \(AK \bot BC\)(chứng minh a); \(CE \bot BC\) (giả thiết) suy ra \[EC\,{\rm{//}}\,AK\](tính chất).

c) Ta có \(\widehat {BAK} = \widehat {BCA}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC})\) mà \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (2 góc tương ứng của 2 tam giác bằng nhau) suy ra \(\widehat {CAK} = \widehat {BCA}.\) (1)

Lại có: \(\widehat {CAK} = \widehat {ACE}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ACE} = \widehat {ACB}.\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {EAC} = 90^\circ ;\)

Cạnh \[AC\]chung

\(\widehat {ACE} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta AEC\) (g.c.g)

\( \Rightarrow CB = CE\)(2 cạnh tương ứng).