Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC, đường trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD > DB, vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với cạnh BC tại H. Từ điểm C vẽ tiếp tuyến thứ hai CE

Ta có: \(\widehat {EAI} = \widehat {EAD} + \widehat {DAI}\).

Mặc khác ta dễ dàng chứng minh được 5 điểm \(A,E,D,H,C\) cùng thuộc một đường tròn.

Do đó \(\widehat {EAD} = \widehat {ECD}\) mà \(\widehat {ECD} = \widehat {DCB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EAD} = \widehat {DCB}\).

Ta lại có, \(\widehat {DAI} = \widehat {DBC}\).

Vậy \(\widehat {EAI} = \widehat {DCB} + \widehat {DBC} = \widehat {ADC}\) mà \(\widehat {AEI} = \widehat {ADC}\) (do \(AEDC\) nội tiếp)

Suy ra \(\widehat {EAI} = \widehat {AEI}\) nên \(\Delta AIE\) cân tại \(I\)

Mà \(IK\) là trung tuyến nên \(IK\) đồng thời là phân giác \(\widehat {AIE}\)

Lại có \(\widehat {AIE}\) và \(\widehat {CIM}\) ở vị trí đối đỉnh nên tia là phân giác \(\widehat {CIM}\) sẽ trùng với \(IK\)

Hay nói cách khác \(IK\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta CMI\).