Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC , đường cao AH . Kẻ HD vuông góc với AB tại D , HE vuông góc với AC tại E . a) Tứ giác AD/HE là hình gì? Vì sao?

16/17

(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có\[AB < AC\], đường cao\[AH\]. Kẻ \[HD\] vuông góc với\[AB\] tại $D$, \[HE\] vuông góc với \[AC\] tại $E$.

a) Tứ giác \[ADHE\] là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích của tứ giác \[ADHE\] nếu \[AD = 4\,\,{\rm{cm}};\,\,AH = 5\,\,{\rm{cm}}\].

c) Lấy hai điểm $I$ và $K$ sao cho $D$ là trung điểm của $BI$và$D$ cũng là trung điểm của $HK.$ Chứng minh tứ giác \[BKIH\] là hình thoi; \[AK\] vuông góc với \[IH\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải:

$Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có (ảnh 1)$

a) Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên$\widehat {BAC} = 90^\circ $ hay $\widehat {DAE} = 90^\circ $.

Ta có$HD \bot AB$; $HE \bot AC$ nên $\widehat {HDA} = 90^\circ $; $\widehat {HEA} = 90^\circ $.

Tứ giác $ADHE$có \[\widehat {DAE} = \widehat {HDA} = \widehat {HEA} = 90^\circ \].

Do đó, tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta AHD$ vuông tại $D$, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$A{H^2} = A{D^2} + D{H^2}$ hay $25 = 16 + D{H^2}$.

Suy ra $D{H^2} = 9$ nên $DH = 3\,\,{\rm{cm}}$.

Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật nên ta có

${S_{ADHE}} = AD\,.\,DH = 4\,.\,3 = 12\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích tứ giác $ADHE$ bằng $12\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$

c) Theo đề bài, $D$ là trung điểm của $BI$và$D$ cũng là trung điểm của $HK.$

Khi đó, hai đường chéo $BI$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó, tứ giác $BKIH$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BKIH$ có hai đường chéo $BI$ và $HK$ vuông góc với nhau nên tứ giác \[BKIH\] là hình thoi.

Mà $AH \bot BH$suy ra$KI \bot AH$.

Xét $\Delta AHK$ có $AD \bot KH;\,\,KI \bot AH$ và $AD$ cắt $KI$ tại $I$.

Do đó, $I$là trực tâm của tam giác $AKH$ suy ra $HI \bot AK$ (đpcm).