Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác và M là trung điểm của BC. Gọi D, E, F là tiếp điểm của đường tròn (I) vớ

a) Đúng. Áp dụng định lí Pythagore vào \[\Delta ABC\], ta có:

\[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}}  = 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

b) Sai. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AD = AF;\,\,BD = BE;\,\,CE = CF\].

Do đó, ta có: \[2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36\] (cm).

Suy ra \[2AD + 2BC = 36\], suy ra \[AD = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\] \[BD = 6\,\,{\rm{cm}}\] và \[DI = 3\,\,{\rm{cm}}\].

Do đó, \[BD = 2DI\].

c) Đúng. Xét \[\Delta ABN\] và \[\Delta IBD\] có \[\widehat B\] chung và \[\widehat {BDI} = \widehat {BAN} = 90^\circ \].

Do đó, $\Delta ABN\backsim \Delta DBI$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}}\]

Do đó, theo định lí Thalès đảo suy ra \[IG\parallel NM\] và \[IG = \frac{2}{3}MN\].

Có \[IDAF\] là hình vuông nên \[DI\parallel FA\].

Theo định lí Thales, có \[\frac{{DI}}{{AN}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{2}{3}\], do đó \[AN = 3:\frac{2}{3} = \frac{9}{2} = 4,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

d) Đúng. Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[NM = AM - AN = 6 - 4,5 = 1,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Suy ra \[IG = 1\,\,{\rm{cm}}\].