Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm và AC = 8m. Đường phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Từ C kẻ CE vuông góc BD tại E. a) Tính độ dài BC và tỉ số AD/DC

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại  theo định lí Pytagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\) \(A,\)

Suy ra \(BC = \sqrt {100}  = 10{\rm{\;cm}}.\)

Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên suy ra:

\[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\]

b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC)\)

Do đó ΔABD∽ΔEBC  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Từ \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)\(\left( 1 \right)\)

Vì ΔABD∽ΔEBC (câu b) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

⦁  ΔCHE∽ΔBCE (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\)

Suy ra \(CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)\)

⦁ ΔCDE∽ΔBCE (g.g) nên EDEC=CEBE.

Suy ra \(ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra: \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)