Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm và AC = 8 cm . Kẻ đường cao AH . a) Chứng minh Δ ABC ∽ Δ HBA .

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) là góc chung. Do đó ΔABC∽ΔHBA (g.g). b) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\) Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a), ΔABC∽ΔHBA nên \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

c) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: (g.g).

Mà ΔABC∽ΔHBA hay ΔCBA∽ΔABH nên ΔABH∽ΔCAH  ∽ΔCBA.

Suy ra \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}\] (tỉ số cạnh tương ứng), do đó \[BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4,8 = 3,6{\rm{\;cm}}.\]

Khi đó \[HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4{\rm{\;cm}}.\]

⦁ Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACD} = \widehat {HCE}\) (do \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}).\)

Do đó ΔACD∽ΔHCE (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}\] (*)

⦁ Ta có \(CD\) là phân giác \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},\) do đó \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.\]

Suy ra \(AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}\) và \[\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.\]

Khi đó \[HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6,4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.\]

Ta có \[\frac{{{S_{\Delta ACD}}}}{{{S_{\Delta HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6,4}} = \frac{{25}}{{16}}.\]