Cho tam giác ABC vuông tại  A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. a) Tính độ dài cạnh BC

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\)

Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung

Do đó ΔABC∽ΔHAC (g.g).

c) Vì ΔABC∽ΔHAC (câu b) ta có:

⦁ \[\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{AH}} = \frac{{10}}{8},\) suy ra \(AH = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}.\)

⦁ \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{AC}}{{HC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{4,8}} = \frac{8}{{HC}},\) suy ra \(HC = \frac{{4,8 \cdot 8}}{6} = 6,4{\rm{\;cm}}.\)

Ta có \(BC = HB + HC,\) suy ra \(HB = BC - HC = 10 - 6,4 = 3,6{\rm{\;cm}}.\)

d) Vì EF // BC nên ΔAEM∽ΔABH (định lí), do đó \(\frac{{EM}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{3,2}}{{4,8}} = \frac{2}{3}.\)

Tương tự, ta có ΔAFM∽ΔACH (định lí), do đó \(\frac{{MF}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{2}{3}.\)

Do đó \(EF = EM + MF = \frac{2}{3}BH + \frac{2}{3}HC = \frac{2}{3}\left( {BH + HC} \right) = \frac{2}{3}BC.\) Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\)

Vì \(EF\,{\rm{//}}\,BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(AH \bot EF.\)

Ta có  \(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AM \cdot EF}}{{\frac{1}{2}AH \cdot BC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Suy ra \({S_{\Delta AEF}} = \frac{4}{9}{S_{\Delta ABC}} = \frac{4}{9} \cdot 24 = \frac{{32}}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)