Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2, AC = 3. Gọi I là trung điểm AB và M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC.

14/21

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2$, $AC = 3$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 2MC$.

Hai vectơ $\overrightarrow {BI} $ và $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với nhau.

ĐúngSai

$\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 $.

ĐúngSai

Giá trị của biểu thức $P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} $ bằng $\frac{{28}}{9}$.

ĐúngSai

Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ là $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.

ĐúngSai

Giải thích

$a) ĐÚNG. Hai vectơ $\overrightarrow {BI} $ và \ (ảnh 1)$

a) ĐÚNG. Hai vectơ $\overrightarrow {BI} $ và $\overrightarrow {AB} $ có giá đều là đường thẳng $AB$ nên cùng phương.

b) SAI. Ta có $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 $.

Áp dụng đinh lý Pythagore ta tính được $IC = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} $.

Vậy $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {IC} } \right| = 2IC = 2\sqrt {10} $.

c) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.

Vậy $P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

$ = \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2}} \right) = \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3} \cdot {2^2} + \frac{2}{3} \cdot {3^2}} \right) = \frac{{28}}{9}$ (do $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$).

d) SAI. Biểu diễn đúng là $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} $.