Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Cạnh \[AB = a\] nằm trong mặt phẳng

16/22

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Cạnh \[AB = a\] nằm trong mặt phẳng \[\left( P \right)\], cạnh $AC = a\sqrt 2 $, \[AC\] tạo với \[\left( P \right)\] một góc \[{60^0}\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

\[\left( {ABC} \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{45^0}\].

ĐúngSai

\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{30^0}\].

ĐúngSai

\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{45^0}\].

ĐúngSai

\[BC\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[{60^0}\].

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

$Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Cạnh \[AB = a\] nằm trong mặt phẳng (ảnh 1)$

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[C\] lên mặt phẳng \[\left( P \right)\].

Khi đó, \[\left( {AC,\left( P \right)} \right) = \left( {AC,AH} \right) = \widehat {CAH} = {60^0}\] và \[\left( {BC,\left( P \right)} \right) = \left( {BC,AH} \right) = \widehat {CBH} = \alpha \].

Tam giác \[AHC\] vuông tại \[H\] nên \[\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow CH = AC.\sin \widehat {CAH} = a\sqrt 2 .\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\].

Tam giác \[CHB\] vuông tại \[H\] nên \[\sin \alpha = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}\].