Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10 cm, góc ABC = 30°. Tính độ dài cạnh AC (biết sin 30° = 1/2; cos 30° = căn bậc hai của 3/2; tan 30° = căn bậc hai của 3/3).
5.1. Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}\).
Suy ra \(AC = BC \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) (cm).
Vậy \(AC = 5\,\,{\rm{cm}}\).
5.2.
a) Vì \(BE \bot AC\) và \(H \in BE\) nên \(\widehat {AEH} = 90^\circ \).
Vì \(CF \bot AB\) và \(H \in CF\) nên \(\widehat {AFH} = 90^\circ \).
Do đó, \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \).
Từ đây chứng minh được \(A,\,\,F,H,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).
Vậy tứ giác \(AFHE\) là tứ giác nội tiếp.
b) Vì \(AD \bot BC\) nên trong tam giác vuông \(ABD\) có \(AD = AB \cdot \sin \widehat {ABC}\).
Mặt khác, do tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AM\) là đường kính nên
\(AM = 2R\).
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {\frac{{AC}}{{\sin ABC}}} = 2R = AM\).
Suy ra \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AM}}\), do đó \(AD = AB \cdot \frac{{AC}}{{AM}}\).
Suy ra \(AD \cdot AM = AB \cdot AC\).
c) Ta chứng minh \(K\) là trung điểm của \(HM\).
Do \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABM} = 90^\circ ;\,\,\,\widehat {ACM} = 90^\circ \).
Suy ra \(BM \bot AB;\,\,CM \bot AC\).
Mà \(CH \bot AB\), \(BH \bot AC\).
Do đó, \(BM\parallel CH,\,\,CM\parallel BH\).
Suy ra tứ giác \(BHCM\) là hình bình hành.
Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\) mà trong hình bình hành \(BHCM\) hai đường chéo \(BC\) và \(HM\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra \(K\) là trung điểm của \(HM\)
Vậy ba điểm \(H,\,K,\,M\) thẳng hàng.