Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB. Đường trung trực của AB cắt BC tại I. a) Chứng minh rằng Tam giác AIB, tam giác AIC là các tam giác cân. b) Từ I kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, cắt

a) Do I nằm trên đường trung trực của AB nên AI = BI.

ΔAIB có AI = BI nên ΔAIB cân tại I.

Do đó IAB^=IBA^.

Lại có: IAB^+IAC^=90°; IBA^+ICA^=90° nên IAC^=ICA^.

ΔAIC có IAC^=ICA^ nên ΔAIC cân tại I.

b) Xét ΔMBC có CA⊥MB; MI⊥BC.

Mà CA cắt MI tại N nên N là trực tâm của ΔMBC.

Do đó BN⊥MC hay BE⊥MC.

c) ΔMBCcó MI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên ΔMBC cân tại M.

Khi đó MI là đường phân giác của BMC^.

⇒AMN^=EMN^.

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔEMN vuông tại E có:

MN chung.

⇒ΔAMN=ΔEMN (chứng minh trên).

⇒ΔAMN=ΔEMN (cạnh huyền - góc nhọn).

⇒ MA = ME (2 cạnh tương ứng).

ΔMAE có MA = ME nên ΔMAE cân tại M.

Do đó MAE^=MEA^.

Xét ΔMAE có MAE^+MEA^+AME^=180°

⇒2MAE^+AME^=180°

⇒MAE^=180°−AME^2 (1).

Do ΔMBC cân tại M nên MBC^=MCB^.

Xét ΔMBC có MBC^+MCB^+BMC^=180°

⇒2MBC^+BMC^=180°

⇒MBC^=180°−BMC^2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra MAE^=MBC^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EA // BC.

Vậy hai đường thẳng EA và BC song song với nhau.