Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB) có đường cao AH. Gọi D là điểm nằm trên đoạn

a) Chứng minh BH.BC = BE.BF .

Ta có: (g.g) vì có \(\widehat {ABF}\) chung và \(\widehat {BAF} = \widehat {AEB}\) (cùng chắn cung ).

Suy ra: \(\frac{{BA}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BA}} \Rightarrow BE.BF = B{A^2}\).

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(B{A^2} = BH.BC\)Þ BH.BC = BE.BF.

b) Chứng minh HD là tia phân giác của góc \(\widehat {EHF}\).

Ta có: (c.g.c) vì có \(\widehat {HBF}\) chung và \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (suy từ câu a).

Suy ra: \(\widehat {BHF} = \widehat {BEC}\) (1) Þ tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn.

Do đó, \(\widehat {EHC} = \widehat {EFC}\) (cùng chắn cung )

                      = \(\widehat {CEF}\) (do D CEF cân tại C). (2)

Từ (1) và (2) Þ\(\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\)

Þ\(\widehat {DHE} = \widehat {DHC} - \widehat {EHC} = 90^\circ - \widehat {EHC} = \widehat {DHB} - \widehat {FHB} = \widehat {DHF}\).

Do đó, HD là tia phân giác của góc \(\widehat {EHF}\).

c) Chứng minh F là trung điểm MN.

Vì MF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{MF}}{{AE}} = \frac{{BF}}{{BE}}\).(3)

Vì NF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{NF}}{{AE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\). (4)

Xét D EHF có HD ^ HB và HD là tia phân giác trong của góc \(\widehat {EHF}\)nên HB là tia phân giác ngoài của góc \(\widehat {EHF}\)Þ\(\frac{{BF}}{{BE}} = \frac{{HF}}{{HE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\). (5)

Từ (3), (4), (5) Þ\(\frac{{MF}}{{AE}} = \frac{{NF}}{{AE}}\)Þ MF = NF Þ F là trung điểm MN.