Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MD vuông góc với AB tại D; kẻ ME vuông góc với AC tại E. (a) Chứng minh: Tứ giác ADME là hình chữ nhật? (b) Chứn

a) Xét tứ giác ADME có \(\widehat {MDA} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MD // AC (vì cùng vuông góc với AB).

Suy ra D là trung điểm của AB hay AD = DB.

Mà ADME là hình chữ nhật nên AD = ME.

Từ đó suy ra: ME = DB.

• Ta có \[ME \bot AC\] và \[AB \bot AC\] nên ME // AB (hay ME // DB).

Xét tứ giác MBDE có: ME // DB; ME = DB nên tứ giác MBDE là hình bình hành.

c) – C/m: Tứ giác ABMK là HBH

Hình chữ nhật ADME có I là giao điểm của hai đường chéo AM và DE nên I là trung điểm của DE.

Ta có ME // AB nên EK // BD (vì K nằm trên đường thẳng ME, D nằm trên AB).

Mặt khác E là trung điểm của MK nên ME = EK.

Mà ME = DB nên EK = DB.

Xét tứ giác BDEK có EK // DB và EK = DB nên BDEK là hình bình hành.

Xét hình bình hành BDEK có hai đường chéo là BK và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên đường chéo BK phải đi qua trung điểm I.

Vậy ba điểm B, I, K thẳng hàng.