Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Vẽ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Lấy điểm D thuộc tia đối của tia H A sao cho HD = HA . a) Chứng minh rằng Δ BAH = Δ BDH và tia BC là tia p

16/18

(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] $\left( {AB < AC} \right)$. Vẽ \[AH \bot BC\] $\left( {H \in BC} \right).$ Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh rằng \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]và tia \[BC\] là tia phân giác của $\widehat {ABD}$.

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \( (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DBH$ có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \];

$BH$ là cạnh chung;

$AH = DH$ (giả thiết).

Do đó \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {DBH}$ (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có $BC$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$.

b) Do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (chứng minh câu a)

Nên $\widehat {BAH} = \widehat {BDH}$ (hai góc tương ứng)

Lại có $DM\,{\rm{//}}\,BA$ (giả thiết) nên $\widehat {BAH} = \widehat {MDH}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$

Xét $\Delta BDH$ và \[\Delta MDH\] có:

$\widehat {BHD} = \widehat {MHD} = 90^\circ $;

$DH$ là cạnh chung;

$\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta BDH = \Delta MDH$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $BH = MH$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $H$ là trung điểm của $BM$.

Ta có $AD \bot BM$ tại trung điểm $H$ của đoạn thẳng $BM$ nên \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DBC$ có:

$AB = DB$ (do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]);

$\widehat {ABC} = \widehat {DBC}$ (chứng minh câu a);

$BC$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta DBC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ (hai góc tương ứng)

Hay $CD \bot BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta DHB$ có:

$\widehat {AHM} = \widehat {DHB} = 90^\circ $;

$AH = DH$ (giả thiết);

$BH = MH$ (chứng minh câu b)

Do đó $\Delta AHM = \Delta DHB$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {HAM} = \widehat {HDB}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AN\,{\rm{//}}\,BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $CD \bot AN$.

Mặt khác $CN \bot AN$ (giả thiết)

Từ đó suy ra hai đường thẳng $CD$ và $CN$ trùng nhau hay ba điểm $C,\,\,N,\,\,D$ thẳng hàng.