Cho tam gíac ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ HE

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

ΔABC vuông tại A ⇒BAC^=90∘

Vì HE⊥AB, HF⊥AC nên HEA^=90∘,  HFA^=90∘.

Xét tứ giác AEHF ta có:

EAF^=HEA^=HFA^=90∘

Suy ra, tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

Vì AEHF là hình chữ nhật suy ra EH // AF và EH = AF (tính chất của hình chữ nhật)

Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD. Suy ra, AF = FD.

Do đó, EH // FD và EH = FD.

Suy ra, DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

+) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.

+) Gọi O là giao điểm của EF và AM.

Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC nên AM = MC suy ra ΔAMC cân tại M. Do đó, MAC^=MCA^.

Vì EHFA là hình chữ nhật, có I là giao điểm hai đường chéo nên ta có IAF^=IFA^.

Xét ΔAHC ta có: HAC^+HCA^=90∘ hay IAF^+MCA^=90∘

⇒IFA^+MAC^=90∘ hay OFA^+OAF^=90∘

Xét ΔOAF có OFA^+OAF^=90∘ suy ra AOF^=90∘

=> EF vuông góc với AM tại O hay IF vuông góc với AM tại O.

+) Xét ΔKAM ta có:

GM⊥KA tại G

AH⊥KM tại H

Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của ΔKAM.

⇒KI⊥AM mà IF⊥AM

=> K, I, F thẳng hàng.

Ta có:

Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Ba điểm K, I, F thẳng hàng.

=>  Bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.