Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm

a) +) Xét tam giác BAC có E, D lần lượt là trung điểm của BA và BC nên suy ra ED là đường trung bình của tam giác BAC

Þ ED // AC và ED=AC2; BE=AB2

Mà BA ^ AC nên suy ra BA ^ ED

Suy ra MED^=90°

+) Xét tam giác CBA có F, D lần lượt là trung điểm của CA và CB nên suy ra FD là đường trung bình của tam giác BAC

Þ FD // AB và FD=AB2; CF=AC2

Mà BA ^ AC nên suy ra AC ^ FD

Suy ra NFD^=90°

+) Ta có:

ED // AC, FD // AB mà BA ^ AC nên suy ra ED ^ FD

⇒EDN^+NDF^=90° (1)

Mà MDN^=MDE^+EDN^=90° (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra MDE^=NDF^ (Do cùng phụ với góc EDN^)

Xét hai tam giác DDEM và DDFN có:

MDE^=NDF^ cmt  MED^=NFD^ =90°⇒∆DEM ᔕDDFN (g – g)

b) Do DDEM ᔕDDFN (g – g)

⇒DMDN=DEDF=AC2AB2=ACAB

⇔DMAC=DNAB

Xét hai tam giác DDMN và DACB có:

 DMAC=DNAB cmt     MDN^=CAB^ =90°⇒∆DMN ᔕDACB(c – g – c)

c) +) Ta có:

MN² = AM² + AN² = (AB - BM)² + (AC - CN)²

= AB² - 2AB.BM + BM² + AC² - 2AC.CN + CN²

= AB(AB - 2BM) + AC(AC - 2CN) + BM² + CN²

= AB(2BE - 2BM) + AC(2CF - 2CN) + BM² + CN²

= 2AB(BE - BM) - 2AC(CN - CF) + BM² + CN²

= 2AB.EM - 2AC.FN + BM² + CN² (3)

+) Lại có:

DDEM ᔕDDFN (g.g)

⇒EMFN=DEDF=AC2AB2=ACAB

Û AB.EM = AC.FN (4)

Thay (4) vào (3) suy ra (3) trở thành

MN² = BM² + CN² (đpcm).