Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), góc C = alpha < 45 độ, đường trung tuyến AM, đường cao AH và MA = MB = MC = a.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.        c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng.

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông nên AM = MB = MC.

Do đó, tam giác AMC cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA} = \alpha \).

Do đó, \(\widehat {AMH} = 2\widehat {MCA} = 2\alpha \) (tính chất góc ngoài tam giác)

b) Đúng.

Ta có:

\(\sin 2\alpha = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{2AH}}{{2AM}} = \frac{{2AH}}{{BC}} = \frac{2}{{BC}}.\frac{{AB.AC}}{{BC}} = 2.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).

c) Sai.

Chứng minh được: $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g) nên \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\), do đó \(HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}}\).

Ta có: \(1 + \cos 2\alpha = 1 + \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HC}}{{AM}} = \frac{{2HC}}{{BC}} = 2.\frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha \).

d) Đúng.

Chứng minh được$\Delta ABC\backsim \Delta HBA$  (g.g) nên \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}\), do đó \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}}\).

Ta có: \(1 - \cos 2\alpha = 1 - \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{2HB}}{{BC}} = 2.\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \).