Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H ∈ BC). a) Chứng minh: ∆ ABC đồng dạng với ∆ HBA.

a)Vì ∆ ABC vuông tại A nên BAC^ = 90°

Vì AH ⊥ BC nên BHA^= 90°

Xét ∆ ABC và ∆ HBA ta có:

Chung ABC^

BAC^ = BHA^= 90°

Do đó ∆ ABC ᔕ ∆ HBA (g.g)

b)Vì AH ⊥ BC nên CHM^= 90°

Vì AM ⊥ BD tại K nên CKB^= 90°

Xét ∆CHM và ∆CBK ta có:

Chung MCH^

CHM^ = CKB^ = 90°

Do đó ∆ CHM ᔕ ∆ CBK (g.g)

⇒ CHCM = CBCK

⇒ CH. CK = CM. CB (đpcm)

c)Xét ∆CMH và ∆DMK, có:

CHM^=DKM^=90°

CMH^=DMK^ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆CMH ᔕ∆DMK (g – g)

⇒ MHMK=CMDM (hai cạnh tương ứng)

⇒ MHCM=MKDM

Xét ∆MHK và ∆MCD, có:

MHCM=MKDM (cmt)

HMK^=CMD^ (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∆MHK ᔕ∆MCD (c – g – c)

⇒ CDM^=MKH^ (2 góc tương ứng)

Ta lại có:

CDM^+DCH^=90° (∆CDH vuông tại H)

HKB^+MKH^=MKB^=90° (hai góc phụ nhau)

Mà CDM^=MKH^ (cmt)

⇒HKB^=DCH^ hay BKH^ = BCD^.