Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có đường cao AK chia cạnh huyền BC thành hai đoạn KB = 2 cm và KC = 6 cm. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

• Xét tam giác vuông CKA vuông tại K có: \(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}}\).

Xét tam giác vuông AKB vuông tại K có: \(\cot C = \frac{{BK}}{{AK}}\).

Mà \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) nên tan C = cot B.

Do đó, \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{BK}}{{AK}}\) hay AK² = BK.KC = 2.6 = 12 suy ra \(AK = 2\sqrt 3 \,\,cm.\)

• Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKB được: AB² = AK² + BK²

Suy ra AB = 4 cm.

• Xét tam giác vuông AKC có: \(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), suy ra \(\widehat C = 30^\circ \).

Mà \(\widehat {KAC} + \widehat C = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {KAC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

• Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có: \(\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1)

Ta lại có BD là tia phân giác của góc B nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Theo tỉ lệ thức, ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\tan ABD = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\).

Từ đây, nhận thấy có 3 khẳng định đúng là a), b), d).