Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có đường cao AH. a) Chứng minh:  tam giác CHA đồng dạng tam giác CAB b) Gọi I là trung điểm của AC. Kẻ IN vuông góc BC, N thuộc BC Chứng minh: AB^2 =

a)

Xét \(\Delta CHA\,\,\,v\`a \,\,\,\Delta CAB\), ta có:

\(\widehat {CHA} = \widehat {CAB} = {90^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH)

\(\widehat C\) là góc chunngVậy tam giác CHA đồng dạng tam giác CAB (g.g)b) 

Xét tam giác AHC có\(IN\,{\rm{//}}\,AH\)(cùng vuông góc với BC)

\[I\] là trung điểm AC (gt) và \(N \in HC\)

Suy ra N là trung điểm HC

Xét \[\Delta AHB\] và \(\Delta CAB\)có

\(\widehat B\)là góc chung.

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) (\(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH)

Vậy  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{HB}}{{AB}}\)hay \(A{B^2} = CB.\,\,HB\)    (1)

Ta có:

BH= BN – NH = BN – NC (N là trung điểm HC) (2)

BC = BN + NC    (3)

Thay (2), (3) vào (1) ta được.

\(A{B^2} = CB.\,\,HB = \left( {BN + NC} \right)\left( {BN - NC} \right) = B{N^2} - N{C^2}\)c)

Gọi K là giao điểm VH và AN

Xét \(\Delta AHV\,\,v\`a \,\,\Delta CNA\)có

\(\widehat {VAH} = \widehat {ACN}\) (cùng phụ với góc B)

\(\widehat {AVH} = \widehat {CAN}\) ( cùng phụ với \(\widehat {BAN}\))

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{VH}}{{AN}} = \frac{{AV}}{{AC}}\)(cặp cạnh tỉ lệ)    (1)

Ta có \(\widehat {BHV} = \widehat {KHN}\)(đối đỉnh)

Mà \(\widehat {KHN} = \widehat {ANI}\) (cùng phụ \(\widehat {KNH}\))

Suy ra \(\widehat {BHV} = \widehat {ANI}\)

Xét \(\Delta VBH\) và \(\Delta AIN\)có:

\(\widehat {BVH} = \widehat {IAN}\) ( cùng phụ với \(\widehat {BAN}\))

\(\widehat {BHV} = \widehat {ANI}\) ( cmt)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{VH}}{{AN}} = \frac{{VB}}{{AI}}\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AV}}{{AC}} = \frac{{VB}}{{AI}}\) nên \(\frac{{VB}}{{AV}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) (\[I\] là trung điểm AC)

Từ đó suy ra B là trung điểm AV.