Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AD\) (\(D\) thuộc \(BC\)). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\) vuông góc với \(BM\) cắt \(AB\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \(AC\) tại \(E\).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,E,\,\,M\) cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ tâm \(O\) và bán kính của đường tròn này.
b) Đường thẳng \(BM\) cắt \(AC\) tại \(F\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HF\). Chứng minh \(FA \cdot FE = FM \cdot FB\) và \(AI \bot AO\).
c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Chứng minh \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EN\).