Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. a) Tính độ dài của vectơ u = vectơ AB + vectơ BC.

a) Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = \sqrt {3{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Do đó: \(\left| {\vec u\left|  =  \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 3 \).

b) Biến đổi vế phải: \(3\left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {CB} } \right| = 3BC = 3 \cdot 2a = 6a\).

Biến đổi vế trái:

Gọi \(G\) là điểm cố định thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC}  = \vec 0\).

Khi đó, với mọi điểm \(M\):

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 6\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + 4\overrightarrow {GC} } \right) = 6\overrightarrow {MG} \).

Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} \left|  =  \right|6\overrightarrow {MG} } \right| = 6MG\)

Đẳng thức đã cho trở thành: \(6MG = 6a \Rightarrow MG = a\).

Vì \(G\) là điểm cố định nên tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(R = a\).