Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9 cm, BC = 15 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE. a) Chứng minh rằng tam giác ABC= tam giác AEC b) Vẽ đường trung tuyến

a) Xét ΔABC vuông tại A và ΔAEC vuông tại A có:

AB = AE (theo giả thiết)

AC chung

⇒ΔABC=ΔAEC (2 cạnh góc vuông)

b) Do A là trung điểm của BE nên CA là đường trung tuyến ứng của ΔBEC.

Xét ΔBEC có CA và BH là hai đường trung tuyến cắt nhau tại M.

Do đó M là trọng tâm của ΔBEC

Do đó CM = 23CA.

 Áp dụng định lý Pytago vào ΔABC vuông tại A:

AB² + AC² = BC²

⇒ 9² + AC² = 15²

⇒ AC² = 225 - 81

⇒ AC² = 144

⇒ AC = 12 cm

Khi đó CM = 23CA = 23.12 = 8 cm.

Vậy CM = 8 cm.

c) Trên tia đối của tia KA lấy điểm N sao cho KN = KA.

Do ΔABC=ΔAEC (2 cạnh góc vuông) nên BC = EC (2 cạnh tương ứng) và ⇒KCA^=ACE^ (2 góc tương ứng).

ACB^=ACE^.

Do AK // EC nên KAC^=ACE^ (2 góc so le trong)

Do đó KCA^=KAC^.

ΔKAC có KCA^=KAC^ nên ΔKAC cân tại K.

Do đó KA = KC.

Mà KA = KN = 12 AN nên KA = KN = KC = 12 AN.

ΔACN có KA = KN = KC = 12 AN nên ΔACN vuông tại C.

Xét ΔACN vuông tại C và ΔCAE vuông tại A:

NAC^=ECA^ (chứng minh trên).

AC chung.

⇒ΔACN=ΔCAE (góc nhọn - cạnh góc vuông).

⇒ AN = CE (2 cạnh tương ứng).

Mà EC = BC nên AN = BC.

Mà AN = 2AK nên BC = 2AK.

Lại có AK = KC nên BC = 2KC.

Do đó K là trung điểm của BC.

ΔBEC có M là trọng tâm, lại có K là trung điểm của BC nên E, M, K thẳng hàng.

Vậy E, M, K thẳng hàng.