Cho tam giác \[ABC\] vuông tại A

9/10

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\;\left( {AC > AB} \right)\]. Trên tia \[BA\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AC\]. Kẻ \[DH\] vuông góc với \[BC\] tại điểm \[H\]. Gọi \[K\] là giao điểm của hai đường thẳng \[DH\] và \[AC\]. Chứng minh rằng

a. \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\];

b. \[AK = AB\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác \[ABC\] vuông tại A (ảnh 1)$

a. Chứng minh \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\].

Vì \[\widehat {CAD} = \widehat {CHD} = {90^0}\] (giả thiết) nên tứ giác \[AHCD\] là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Suy ra \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

b. Chứng minh \[AK = AB\].

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}AC = AD\\\widehat {DAC} = {90^0}\end{array} \right.\] nên tam giác \[ACD\] vuông cân tại \[A\].

Suy ra \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA} = {45^0}.\quad \left( 1 \right)\]

Vì \[\widehat {KAB} = \widehat {KHB} = {90^0}\] (giả thiết) nên \[\widehat {KAB} + \widehat {KHB} = {180^0}\].

Do đó tứ giác \[AKHB\] là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Suy ra \[\widehat {KBA} = \widehat {KHA}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ). \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[\widehat {KBA} = {45^0}\].

Do đó \[\widehat {AKB} = {90^0} - {45^0} = {45^0}\].

Vậy, tam giác \[ABK\] vuông cân tại \[A\]. Suy ra \[AK = AB\].