Cho tam giác ABC vuông ở A. vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC

a) Vì M, N lần lượt nằm trên nửa đường tròn đường kính AB, AC nên BMA^=CNA^=900

Do đó BM⊥MN, CN⊥MN => BMCN là hình thang vuông (tại M, N)

b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN:

- Phần thuận:

Gọi E là trung điểm BC => IE là đường trung bình của hình thang BCNM

⇒EI⊥MN, do đó AIC^=900

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính AE.

- Giới hạn:

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có APEQ là hình chữ nhật nên P, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AE.

+ Nếu M≡B⇒I≡P 

+ Nếu M≡C⇒I≡C

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung PQ⏜ của đường tròn đường kính AE.

- Phần đảo:

Lấy điểm I trên cung PQ⏜ của đường tròn đường kính AE. Nối AI lần lượt cắt  tại M, N.

Ta có AIE^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên EI⊥MN => EI // BM

Do đó EI là đường trung bình của hình thang BCNM => MI = NI

- Kết luận: quỹ tích điểm I nằm trên cung PQ⏜ của đường tròn đường kính AE.