Cho tam giác ABC vuông ở A . Gọi E , G , F lần lượt là trung điểm của AB , BC , AC . Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng này cắt GF tại I .

a) Vì \(G\), \(F\) lần lượt là trung điểm của\(BC\), \(AC\) nên \(GF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(GF\,{\rm{//}}\,AB\) nên \[BE\,{\rm{//}}\,IF\].

Tứ giác \(BEIF\)có \[BE\,{\rm{//}}\,IF\] (cmt) và \[BF\,{\rm{//}}\,IE\] (gt).

Do đó, tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Ta có \(GF\,{\rm{//}}\,AB\) và \(AC \bot AB\) nên \(AC \bot GF\).

Ta thấy \[IF = BE\] (vì tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành).

Mà \(GF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \[GF = \frac{1}{2}AB = BE\].

Do đó, \[GF = IF = BE\] nên \(F\) là trung điểm của \(IG.\)

Tứ giác \(AGCI\) có hai đường chéo \(AC\) và \(IG\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra, tứ giác \(AGCI\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(AGCI\) có hai đường chéo \(AC\) và \(IG\) vuông góc với nhau nên tứ giác \(AGCI\) là hình thoi.

Để tứ giác \(AGCI\) là hình vuông thì \(\widehat {AGC} = 90^\circ \).

Khi đó, tam giác \(ABC\) có \(\widehat {AGC} = 90^\circ \) nên tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

Vậy để tứ giác \(AGCI\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).