Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C = 30°, BC = 10 cm.  a) Tính AB, AC. b) Từ A kẻ các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh rằng

a) Ta có DABC vuông tại A, góc C = 30° nên tam giác ABC là nửa tam giác đều cạnh BC = 2AB. nên AB = \(\frac{1}{2}\)BC = 5 (cm).

Do đó, AC = \(\sqrt {{\rm{B}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{B}}^2}} = 5\sqrt 3 \) (cm).

b) Gọi AN Ç BC = D, AM Ç BC = E. Suy ra, BM, BN lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}},\;\,\widehat {{\rm{ABD}}}\).

Ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{ABD}}} = 180^\circ \) nên BM ^ BN.

Mà BN ^ AD, BM ^ AM nên tứ giác ANBM là hình chữ nhật. Suy ra MN = AB.

Ta có: DABD có phân giác BN, BN ^ AD nên DABD cân tại B, N là trung điểm của AD.

Tương tự M là trung điểm của AE.

Suy ra MN là đường trung bình của DADE. Suy ra MN // DE. Do đó, MN // BC.

c) Ta có \(\widehat {{\rm{AMB}}} = 90^\circ = \widehat {{\rm{BAC}}}\).

Mà \(\widehat {{\rm{MNA}}} = \widehat {{\rm{ABM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}} = \frac{1}{2}\left( {90^\circ - \widehat {\rm{C}}} \right) = 30^\circ = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DMAB  DABC (g – g).

Suy ra, DMAB  DABC theo tỉ số \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).