Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6, AC = 8; đường cao AH, phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD. a) Tính AD, DC. b) Chứng minh IH/IA=AD/DC . c) Chứng minh AB.BI = BD.HB và tam giác AI

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

BC=AB2+AC2=62+82=10  (cm)

Ta có AD là tia phân giác ABC^, theo tính chất tia phân giác của tam giác:

ADDC=ABBC⇒ADDC+AD=ABBC+AB

⇔ADAC=ABBC+AB.

Thay số, ta được: AD8=610+6⇒AD=6 . 810+6=3  (cm).

Þ DC = AC – AD = 8 – 3 = 5 (cm)

Vậy AD = 3 cm, DC = 5 cm.

b) Xét DHBA và DABC có:

AHB^=BAC^=90o 

BAH^=ACB^ (cùng phụ ABC^).

Do đó DHBA  DABC (g.g)

Suy ra: HBAB=ABBC=ADDC⇒HBAB=ADDC         (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác ABH^, áp dụng tính chất tia phân giác, ta có:

HBAB=IHIA     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IHIA=ADDC (đpcm).

c) Xét DABD và DHBI có:

BAD^=AHB^=90o

ABD^=IBH^ (vì BD là tia phân giác ABC^)

Do đó DABD  DHBI (g.g)

Suy ra ABHB=BDBI⇔AB . BI=BD . HB

Lại có DABD  DHBI ⇒BIH^=ADI^ (hai góc tương ứng)

Mà: BIH^=AID^ nên AID^=ADI^

Do đó DAID cân tại A.