Cho tam giác ABC vuông cân tại B có BI là đường trung tuyến và AC = căn bậc hai của 2.

a) Sai. Do hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương.

b) Đúng. \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IC} \) là hai vectơ đối nhau, tức là \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IC} \).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {CI} \). Khi đó: \(\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BI} \).

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: \(BI = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AC = \sqrt 2 \).

Theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = BC = 1\).

Ta có \(\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} \) và \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).

Như vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = - 1 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - \sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 1\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - 1 \ne 1\).

Kết quả:

a) Sai                        b) Đúng                     c) Đúng                     d) Sai