Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).

a) • Xét DABM và DACM có:

AB = AC (do DABC cân tại A),

 BAM^=CAM^(do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó DABM = DACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

BAM^=CAM^=12BAC^=12.90°=45°

Lại có  ABC^+ACB^+BAC^=180°(tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà BAC^=90°  và ABC^=ACB^  (do DABC cân tại A)

Nên ABC^=ACB^=180°−BAC^2=180°−90°2=45°

Xét DABM có MBA^=MAB^  (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

• Trong tam giác ABH vuông tại H có B^1+BAH^=90°  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên B^1=90°−BAH^

Mà A^1=BAC^−BAH^=90°−BAH^

Suy ra B^1=A^1

Xét DBAH và DACK có:

BHA^=AKC^=90°,

B^1=A^1 (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và  BAH^=ACK^(hai góc tương ứng).

Ta có BAH^=BAM^+MAH^=45°+MAH^

ACK^=ACM^+MCK^=45°+MCK^

Mà  BAH^=ACK^(chứng minh trên)

Suy ra MAH^=MCK^ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

MAH^=MCK^ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.