Cho tam giác ABC vuông A có góc C = 30 độ và AB = 3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.  Khi đó

Đáp án:          a) Đ.        b) S.        c) S.         d) Đ.

⦁ Kẻ đường vuông góc từ \[D\] xuống \[BC\] cắt \[BC\] tại \[E.\]

Do BD là đường phân giác của hóc ABC nên DA = DE.

Vậy E nằm trên đường tròn (D; DA) hay (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\(\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

Vì DB là phân giác của góc ABC nên ta có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Xét tam giác BDC ta có:

\(\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {DBC} - \widehat {DCB} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \)

Xét ta giác ABD vuông tại A ta có:

\(AD = AB\tan 30^\circ = 3.\tan 30^\circ = \sqrt 3 \) (cm)

Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

\(\frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{120}}{{180}}\pi \cdot \sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi \) (cm)

Diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:

\(\frac{n}{{360}}\pi {R^2} = \frac{{120}}{{360}}\pi \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \pi \) (cm²)

Do đó ý b) và c) đều sai.

⦁ Do \(\widehat {DBC} = \widehat {DCB} = 30^\circ \) nên tam giác DBC cân tại D, suy ra DC = DB.

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

\(BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \frac{2}{{\cos 30^\circ }} = 2\sqrt 3 \) (cm), suy ra \(DC = DB = 2\sqrt 3 \) cm).

Ta có đường tròn (D; DA) có bán kính DA = \(\sqrt 3 \) cm, đường tròn (D; DC) có bán kính \(DC = 2\sqrt 3 \) cm.

Do đó diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn này là:

\[\left[ {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right]\pi = 9\pi \] (cm²).

Vậy diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC) là 9π cm².

Do đó ý d) là đúng.