Cho tam giác ABC với toạ độ ba đỉnh là A(1; 1); B(3; l); C(1; 3). Tính độ dài đường cao AH.

Ta có phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 1) có vectơ chỉ phương là vectơ BC→=(−2;2) và có vectơ pháp tuyến là vectơ

n→ (1; 1)

Phương trình tổng quát của BC là: (x – 3) + (y – 1) = 0 ⇔ x + y – 4 = 0.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; 1) có véc tơ pháp tuyến là vectơ BC→ (– 2; 2) có phương trình là: – 2(x – 1) + 2(y – 1) = 0 ⇔ – x + y = 0.

Toạ độ điểm H là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BC ta có hệ

x+y−4=0−x+y=0⇔x=2y=2                .

Suy ra toạ độ điểm H(2; 2)

Ta có AH = (xH−xA)2+(yH−yA)2=(2−1)2+(2−1)2=2.

Vậy độ dài đường cao AH là 2.