Cho tam giác ABC, với các đường cao ha, hb, hc thỏa mãn ha/hb + hb/hc+hc/ha= hb/ha +hc/hb+ha/hc. Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác cân

39/39

Cho tam giác \(ABC\), với các đường cao \[{h_a},{h_b},{h_c}\] thỏa mãn \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}}\) Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác cân.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có

\(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}} \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\)\( \Leftrightarrow {b^2}c + a{c^2} + {a^2}b = {a^2}c + a{b^2} + b{c^2} \Leftrightarrow bc\left( {b - c} \right) - a\left( {{b^2} - {c^2}} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {bc - ab - ac + {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\). Suy ra tam giác ABC cân.