Cho tam giác ABC với a = BC , b = CA , c = AB và một điểm M bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA/ a + MB/b + MC /c .

Gọi \(AN\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABN\) và hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{N^2} = B{A^2} + B{N^2} - 2BA \cdot BN \cdot \cos B\)

\( = A{B^2} + B{N^2} - 2AB \cdot BN \cdot \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}}\)

\( = A{B^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{2}\)

\( = \frac{{2A{B^2} + 2A{C^2} - B{C^2}}}{4}\).

Gọi độ dài của \(AN = {m_a}\).

Khi đó ta có:\(4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a}\) (bất đẳng thức Cô-si)

\( \Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó:

\(\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA \cdot GA}}{{a \cdot GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) \cdot \overrightarrow {GA} \)

\( = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right)\).

Tương tự ta có:

\(\frac{{MB}}{b} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GB} + G{B^2}} \right)\);

\(\frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GC} + G{C^2}} \right)\).

Từ đó, suy ra:

\(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]\).

Lại có, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Do đó, \(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3 \).

Dấu “=” xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều đồng thời \(M\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\) là \(\sqrt 3 \).