Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC

a)

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do AM⊥BC nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó ΔAMB=ΔAMC (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b)

Do AM là tia phân giác của BAC^ nên BAM^=CAM^.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

AMC^=IMB^ (hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó ΔAMC=ΔIMB (c – g – c).

Khi đó CAM^=BIM^ (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà BAM^=CAM^ nên BAM^=BIM^ hay BAI^=BIA^.

Tam giác BIA có BAI^=BIA^ nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.