Cho tam giác ABC và đường cao AH gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E .

Để chứng minh \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh: \(\widehat {MAN} + \widehat {MEN} = {180^0}\). 

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc \(\widehat {MAN};\widehat {MEN}\) với các  góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có \(\widehat {MEN} = {360^0} - \left( {\widehat {MEH} + \widehat {NEH}} \right) = {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC} + {{180}^0} - \widehat {ACB}} \right) = \widehat {ABC} + \widehat {ACB}\) \( = {180^0} - \widehat {BAC}\) suy ra \(\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^0}\). Hay tứ giác \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp.

Kẻ \(MK \bot BC\), giả sử \(HE\) cắt \(MN\) tại \(I\) thì \(IH\) là cát tuyến của hai đường tròn \((BMH)\), \((CNH)\).

Lại có \(MB = MH = MA\) (Tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Suy ra tam giác \(MBH\) cân tại \(M \Rightarrow KB = KH \Rightarrow MK\) luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBH\). Hay \(MN\) là tiếp tuyến của \((MBH)\) suy ra \(I{M^2} = IE.IH\), tương tự ta cũng có \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( {HNC} \right)\) suy ra \(I{N^2} = IE.IH\) do đó \(IM = IN\).