Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N

6/10

Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N. Gọi D là giao điểm của ME và BC. Đường thẳng NE cắt AB và MC lần lượt tại F và K. Khi đó tam giác AFN đồng dạng với tam giác nào dưới đây?

Tam giác MDC;

Tam giác DNC;

Tam giác ACM;

Tam giác NKB.

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N (ảnh 1)

Xét tứ giác BFED có: EF // BD và BF // DE.

Suy ra BFDE là hình bình hành.

Suy ra BF = ED, EF = BD.

Suy ra BF ⋅ BD = EF ⋅ ED (1).

Xét hai tam giác BFN và MDB có:

\(\widehat {{\rm{NBF}}} = \widehat {{\rm{BMD}}}\) (AB // EM, hai góc đồng vị)

\(\widehat {{\rm{NFB}}} = \widehat {{\rm{BDM}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{FED}}}} \right)\)

Do đó, ΔBFN ᔕΔMDB (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{BF}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{BD}}}}\).

Suy ra NF ⋅ DM = BD ⋅ BF (2).

Xét hai tam giác AEF và ECD có:

\(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{ECD}}}\) (EF // BC, hai góc đồng vị)

\(\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{ABC}}}} \right)\)

Do đó, ΔAEF ᔕΔECD (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{ED}}}} = \frac{{{\rm{EF}}}}{{{\rm{CD}}}}\).

Suy ra AF ⋅ CD = EF ⋅ ED (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AF ⋅ CD = NF ⋅ DM hay \(\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}\).

Ta có \(\widehat {AFN} = \widehat {BFE}\) (đối đỉnh); \(\widehat {MDC} = \widehat {BDE}\) (đối đỉnh); \(\widehat {BFE} = \widehat {BDE}\) (do BFDE là hình bình hành). Suy ra \(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}\).

Xét hai tam giác AFN và MDC có:

\(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}\)

\(\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}\)

Suy ra ΔAFN ᔕΔMDC (c – g – c).