Cho tam giác ABC trung tuyến AM đường phân giác của góc AMB cắt AB ở D đường phân giác của góc AMC cắt AC ở E. a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và DE song song BC

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét \[\Delta ACM\] có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do \(AM\) là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{EA}}{{EA + EC}},\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) suy ra \(AD \cdot AC = AE \cdot AB.\)

Xét \[\Delta ABC\] có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]

b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\,{\rm{//}}\,BM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\)

Xét \[\Delta ACM\] có \(IE\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}.\)

Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE,\) hay \[I\] là trung điểm của \(DE.\)

c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}},\) suy ra \[\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}.\]

Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12{\rm{\;cm}}.\)

d) Để \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) thì \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC.\)

Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại \(M.\) Suy ra \(MA = MB\) (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được \(MA = MC.\)

Do đó \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa cạnh \(BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) phải là tam giác vuông tại \(A\) thì \(DE\) là đường trung bình của tam giác đó.