Cho tam giác ABC trung tuyến AD, gọi E là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng của điểm D qua E.

1)Ta có tứ giác ADBN có 2 đường chéo AB và DN cắt nhau tại trung điểm E mỗi đường

Nên ADBN là hình bình hành

2)

a) ADBN là hình chữ nhật khi ADB^=90°⇒AD⊥BC. Khi đó ΔABC có AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

b) ADBN là hình thoi ⇔AB⊥DN tại E, khi đó DE⊥AB mà DE // AC (tính chất đường trung bình) ⇒AC⊥AB⇒ΔABC vuông tại A thì ADBN là hình thoi.

c) ANBD là hình vuông <=> ANBD vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật

khi đó ΔABC vuông cân tại A

3) Ta có AN = BD = DC nên AN = DC

Và AN // BD ( do ANBD là hình bình hành) mà C∈BD⇒AN//DC    &   AN=DC

Suy ra ANDC là hình bình hành mà AD∩NC=M⇒M là trung điểm AD

ΔABD có E là trung điểm AB, M là trung điểm AD

 => EM là đường trung bình ΔABD⇒EM=12BD mà BD=12BC (D là trung điểm BC)

Nên EM=14BC