Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 2.

Gọi M là giao điểm BH và AC

Do H là trực tâm nên AM ⊥ AC

Ta có: HBD^=90°−BHD^=90°−MHA^=MAH^=CAD^

Xét tam giác BHD và tam giác ACD có:

HBD^=CAD^BDH^=ADC^=90°

Suy ra: ∆BHD ∽ ∆ACD (g.g)

⇒ HDBD=CDAD

⇔ AD2BD=CDAD (do H là trung điểm AH nên 2HD = AD)

⇔ ADBD.ADCD=2

Xét trong tam giác vuông ABD có: tanB = ADBD

Trong tam giác vuông ADC có: tanC = ADCD

Suy ra: tanB.tanC = 2.