Cho tam giác ABC trọng tâm G có góc BGC < 90 độ. Điểm D là giao điểm của AG với BC. Trên tia AD lấy điểm K sao cho DK = DA. a) Chứng minh tam giác ACD = tam giác KBD

a) Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Mà \(AG\) đi qua điểm \(D\) nên \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) hay \(BD = CD\).

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta KBD\) có:

\(DK = DA\) (giả thiết)

\(\widehat {ADC} = \widehat {BDK}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BD = CD\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta ACD = \Delta KBD\) (c.g.c).

b) Xét \(\Delta GBC\) có \(\widehat {BGC} < 90^\circ \) (giả thiết)

Suy ra \(GD > \frac{1}{2}BC\).           (1)

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AD\) suy ra \(DG = \frac{1}{3}AD\) hay \(AD = 3DG\).            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD > \frac{3}{2}BC\).           (3)

Xét \(\Delta ABK\) có \(AB + BK > AK\) (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà \(AC = BK\) (vì \(\Delta ACD = \Delta KBD\))

Do đó \(AB + AC > 2AD\)                   (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AB + AC > 2\,\,.\,\,\frac{3}{2}BC > 3BC\) (đpcm).