Cho tam giác ABC trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD. a) Chứng minh A;G;E thẳng hàng;

a) Xét tam giác \(ABD\) có \(C\) là trung điểm của cạnh \(AD\).

Suy ra \(BC\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\).

Lại có, \(G \in BC\) và \(GB = 2CG \Rightarrow GB = \frac{2}{3}BC\).

Do đó \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

Mặt khác, \(E\) là trung điểm của \(BD\) nên \(AE\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABD\).

Do đó, \(AE\) đi qua trọng tâm \(G\) hay \(A;\,\,G;\,\,E\) thẳng hàng.

b) Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(BCD\), ta có:

\(BC < AB + AC;\,\,BC < BD + CD\).

\( \Rightarrow 2BC < AB + AC + BD + CD = AB + BD + AD\)

\( \Rightarrow BC < \frac{{AB + BD + AD}}{2}\)                    (1)

Lại có, \(BC > AB - AC;BC > CD - BD\)

\( \Rightarrow 2BC > \left( {AB - AC} \right) - \left( {CD - BD} \right)\)

Do đó, \(2BC > AB - AC - CD + BD = AB + BD - \left( {AC + CD} \right)\)

Hay \(2BC > AB + BD - AD\)

Do đó, \(BC > \frac{{AB + BD - AD}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AB + BD - AD}}{2} < BC < \frac{{AB + BD + AD}}{2}\).