Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho

4/25

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho \(\frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}} = \frac{3}{2}\). Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tỉ số \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}}\) là:

\(\frac{2}{3}\);

\(\frac{3}{2}\);

\(\frac{3}{4}\);

\(\frac{1}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho (ảnh 1)

Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.

Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{3}{2}\).

Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).

Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.

Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{2}{1}\)

Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.

Vậy \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{{{\rm{3t}}}}{{{\rm{4t}}}} = \frac{3}{4}\).