Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD =2/3(AC).  Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Tia BD cắt AE tại điểm M. Trên cạnh CM lấy điểm N sao cho M là trung điểm c

a) Xét tam giác \(ABE\) có \(AC\) là đường trung tuyến.

Mặt khác \(D \in AC\) và \(AD = \frac{2}{3}AC\).

Do đó \(D\) là trọng tâm của tam giác \(ABE\).

b) Đường thẳng \(BD\) đi qua điểm \(D\) là trọng tâm của tam giác \(ABE\).

Do đó đường thẳng \(BD\) chứa đường trung tuyến ứng với cạnh \(AE\) suy ra \(MA = ME.\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta EMC\) có:

\(MA = ME\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AMN} = \widehat {CME}\) (hai góc đối đỉnh)

\(MC = MN\) (vì \(M\) là trung điểm của \(NC\))

Do đó \(\Delta AMN = \Delta EMC\) (c.g.c).

Suy ra \(AN = EC\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(CE = CB\) (giả thiết)

Do đó \(AN = BC\) (đpcm).