Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. (a) Chứng minh: CD // EB. (b) Tia phân giác của góc E cắt CD tại F. Vẽ CK vuông góc

a) Vì ∆CBE nên CB = CE (gt)

Suy ra ∆CBE cân tại C.

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CEB}\) (tính chất tam giác cân).

Vì CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) (gt) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {DCB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\).

Hay \(\widehat {ACB} = 2\widehat {ACD} = 2\widehat {DCB}\,\,\,\,(1)\).

Lại có \(\widehat {ACB} = \widehat {CBE} + \widehat {CEB}\) (Vì \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C của ∆CBE).

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CBE} + \widehat {CBE} = 2\widehat {CBE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\widehat {DCB} = 2\widehat {CBE}\) hay \(\widehat {DCB} = \widehat {CBE}\).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong nên CD // EB.

b) Vì CD // EB (cmt) nên \(\widehat {CFE} = \widehat {FEB}\) (vị trí so le trong)

Lại có: \(\widehat {CEF} = \widehat {FEB}\) (vì EF là tia phân giác)

\( \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CEF}\,\,\left( { = \widehat {FEB}} \right)\)

⇒ ∆CFE cân tại C.

Mặt khác: CK FE tại K.

⇒ CK là đường cao.

⇒ CK đồng thời là đường phân giác của \(\widehat {ECF}\) (tính chất tam giác cân).